Números naturales

Algunas características de este conjunto numérico son:

  1. El conjunto de los números naturales (\mathbb{N}) es el primer conjunto numérico construido y estudiado por el hombre. Se denota por \mathbb{N} = {1, 2, 3, 4, … }.
  2. El conjunto de los números naturales es un conjunto con un primer elemento, ordenado e infinito.
  3. El conjunto de los números naturales, en sentido estricto, no contiene al cero; si se quiere incluir este elemento en el conjunto, se denota por \mathbb{N}^{*}= {0, 1, 2, 3, … }, también es conocido como números cardinales y se puede escribir \mathbb{N}_{0}.
  4. Los números naturales expresan el número de elementos que contiene un conjunto dado. Por ejemplo, el número natural 5 representa un conjunto formado por cinco elementos

Relación de orden

En el conjunto de los números naturales se pueden definir las relaciones de orden: menor que, mayor que o igual que. Es así que dado dos números naturales cualesquiera, siempre hay uno menor y otro mayor, salvo que ambos números sean iguales.

Símbolos para comparar

Los símbolos que utilizamos para comparar los numeros naturales son:

Símbolos Ejemplos
< menor que. 2 < 7, se lee “dos es menor que siete”.
9 > 5, se lee “nueve es mayor que cinco”.
8 = 8, se lee “ocho es igual a ocho”.
> mayor que.
= igual.
\leq menor o igual que.
\geq mayor o igual que.

Representación de los números naturales en la recta numérica

Los números naturales los podemos representar de forma ordenada en una recta numérica. En ella, un número que se encuentre a la derecha de otro será mayor que él.

Números naturales

Representación en la recta numérica del conjunto: \mathbb{N}

Recta numerica

Representación en la recta numérica del conjunto: \mathbb{N}_{0}

Propiedades de los números naturales

En el conjunto de los números naturales se definen habitualmente dos operaciones, la adición y multiplicación. A continuación se presenta una tabla resumen de las propiedades y operaciones en \mathbb{N}.

Op. / Prop. Adición Multiplicación
Clausura Al sumar dos números naturales, su resultado también será un número natural.

    \[ \forall \;\; a\;\in \mathbb{N} \;y\;\; \forall\;\;b\;\;\in \;\;\mathbb{N}, \]

    \[ a+b=c, \;con \;\;c \;\in \; \mathbb{N} \]

Al multiplicar dos números naturales, su producto también será un número natural.

    \[ \forall \;\; a\;\in \mathbb{N} \;y\;\; \forall\;\;b\;\;\in \;\;\mathbb{N}, \]

    \[ a\cdot b=c, \;con \;\;c \;\in \; \mathbb{N}$ \]

Conmutatividad

    \[ \forall \;\; a\;\in \mathbb{N} \;y\;\; \forall\;\;b\;\;\in \;\;\mathbb{N}, \]

    \[ a+b=b+a \]

    \[ \forall \;\; a\;\in \mathbb{N} \;y\;\; \forall\;\;b\;\;\in \;\;\mathbb{N}, \]

    \[ a\cdot b=b\cdota \]

Asociatividad

    \[ \forall \;\; a\;\in\;\; \mathbb{N} \;,\;\; \forall\;\;b\;\in \;\;\mathbb{N}\;\; y\;\;\forall \;\; c\;\in\;\; \mathbb{N} \]

    \[ (a + b) + c = a + (b + c)\]

    \[ \forall \;\; a\;\in\;\; \mathbb{N} \;,\;\; \forall\;\;b\;\in \;\;\mathbb{N}\;\; y\;\;\forall \;\; c\;\in\;\; \mathbb{N} \]

    \[ (a \cdot b) \cdot c= a\cdot (b\cdot c) \]

Elemento neutro No se cumple.

    \[ $\forall \;\; a\;\in\; \mathbb{N},\exists \: 1\in\;\mathbb{N}\; \;tal \;que \]

    \[ a\cdot 1=1\cdot a=a \]

Elemento inverso No se cumple. No se cumple.
Distributividad Hace referencia al producto respecto de la suma, y no de la suma respecto del producto.

    \[ \forall \;\; a\;\in\;\; \mathbb{N} \;,\;\; \forall\;\;b\;\in \;\;\mathbb{N}\;\; y\;\;\forall \;\; c\;\in\;\; \mathbb{N},\; a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c \]

En el conjunto de los números naturales, las operaciones de sustracción y división se definen con algunas restricciones.

En la sustracción se debe cumplir que el minuendo debe ser mayor al sustraendo.

Ejemplos:Sustracción números naturales

  • 43 – 13 = 30, donde 30 \in \mathbb{N}
  • 32 – 54, donde su diferencia \notin \mathbb{N}, pues el minuendo 32 es menor que el sustraendo.

En la división, el dividendo debe ser múltiplo del divisor.

Ejemplos:División números naturales

  • 36 : 9 = 4,donde 4 \in \mathbb{N}.
  • 27 : 4, donde su cociente \notin \mathbb{N}, pues el dividendo no es múltiplo del divisor.