Expresiones decimales y fraccionarias

Un número racional, escrito de la forma \frac{a}{b}, es equivalente a una única expresión decimal.

Expresiones decimales de números racionales

Para expresar números racionales, de la forma \frac{a}{b}, como expresiones decimales, se debe dividir el numerador en el denominador.

Ejemplos:

    \[ 1)\; \; -\frac{1}{2}=-1:2=0.5\; \; \;\;\; 2)\;\;-\frac{2}{3}=-2:3=-0,\bar{6} \]

Clasificación de números decimales
Decimales finitos Decimales infinitos periódicos Decimales infinitos semiperiódicos Decimales infinitos no periódicos
Tienen una cantidad finita de cifras decimales. Por ejemplo: 0,9 Inmediatamente después de la coma decimal hay una o más cifras que se repiten infinitamente (período). Por ejemplo: 1,\bar{4} (período: 4). Después de la coma decimal hay una o más cifras que se repiten una cantidad finita de veces (anteperíodo) y
luego una o más cifras que se repiten infinitamente (período). Por ejemplo: -0,14\bar{25} (anteperíodo: 14, período: 25).
Después de la coma decimal no presenta período ni anteperíodo, es decir, las cifras decimales no tienen un patrón de repetición. Por ejemplo: \pi = 3,141592 ...

Notación. Por convención, las cifras que constituyen el período se simbolizan con una “barra” sobre ellas. Por ejemplo: 0,66666666 ... = 0,\bar{6}

Expresiónes fraccionarias de números decimales

Se deben considerar tres casos:

  • Número decimal finito.
  • Número decimal infinito periódico.
  • Número decimal infinito semiperiódico.

Los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse de la forma \; \; \frac{a}{b}\; \;, por lo tanto, no son números racionales.

Expresión fraccionaria de un número decimal finito

Se debe amplificar el número decimal por una potencia de 10 que tenga tantos ceros como cifras tenga la parte decimal del número.

Ejemplos:
Número decimal finito

Expresión fraccionaria de un número decimal infinito periódico

En el numerador se escribe la diferencia entre el número decimal, sin la coma, y el número que aparece en la parte entera; y en el denominador, se escriben tantos 9 como cifras tenga el período.

Ejemplos:
Número decimal infinito periódico

Si un decimal infinito periódico o semiperiódico tiene el período formado exclusivamente por nueves, entonces este decimal es igual a un número entero o a un número decimal finito.

Ejemplo:

    \[ 1,\bar{9}=\frac{19-1}{9}=\frac{18}{9}=2 \]

Expresión fraccionaria de un número decimal infinito semiperiódico

En el numerador se escribe la diferencia entre el número decimal, sin la coma, y el número que aparece antes del período; y en el denominador, se escriben tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplos:
Número decimal infinito semiperiódico

Expresiones irreductibles

La expresión \frac{a}{b} es irreductible si y solo si a y b tienen como único divisor común al 1. Para obtener una expresión irreductible, se debe simplificar por el m.c.d. de a y b.

Ejemplo:

    \[ \frac{24}{36}\; \; \; \triangleright \; \; \; \frac{24}{36}\frac{:12}{:12}=\frac{2}{3} \]

Ejercicio resuelto

1. Escribir la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales:

    \[ a) \; \; 1,\bar{05} \; \;\; \; b)\; \; 2,14\bar{5}\; \;\; \; c)\; \; 8,75 \]

a) El número 1,\bar{05} es un decimal infinito periódico, cuyo período tiene 2 cifras. Luego, se tiene:

    \[ 1,\bar{05} =\frac{105-1}{99}=\frac{104}{99} \]

Por tanto:

    \[ \boxed{1,\bar{05} =\frac{104}{99}} \]

b) El número 2,14\bar{5} es un decimal infinito semiperiódico, cuyo período tiene 1 cifra y cuyo anteperíodo tiene 2 cifras. Luego, se tiene:

    \[ 2,14\bar{5}=\frac{2.145-214}{900}=\frac{1.931}{900} \]

Por tanto:

    \[ \boxed{2,14\bar{5}=\frac{1.931}{900}} \]

c) El número 8,75 es un decimal finito con 2 cifras decimales. Luego, se tiene:

    \[ 8,75=\frac{875}{100}=\frac{35}{4} \]

Por tanto:

    \[ \boxed{8,75=\frac{35}{4}} \]